Ортогональная система. Вместо заключения:, а что же с фильтром Калмана

44. Система государственных органов Франции, избирательное право и избирательная система Франция является смешанной (полупрезидентской) республикой, система органов власти которой основана на принципе разделения властей.Франция сегодня – это республика с сильной

Глава IV. Двойная система соответствия голове. Система "насекомого". Минисистема

Глава IV. Двойная система соответствия голове. Система "насекомого". Минисистема Двойная система соответствия головеНа пальцах кистей и стоп располагаются две системы соответствия голове: система "типа человека" и система "типа животного".Система "типа человека".Граница

Первый эмоциональный центр - костная система, суставы, кровообращение, иммунная система, кожа

Первый эмоциональный центр - костная система, суставы, кровообращение, иммунная система, кожа Здоровое состояние органов, связанных с первым эмоциональным центром, зависит от ощущения безопасности в этом мире. Если вы лишены поддержки семьи и друзей, которая вам

Если на плоскости выбрать какие-нибудь два взаимно перпендикулярных вектора единичной длины (рис. 7), то произвольный вектор в той же плоскости можно разложить по направлениям этих двух векторов, т. е. представить его в виде

где - числа, равные проекциям вектора на направления осей Так как проекция на ось равна произведению длины на косинус угла с осью, то, вспоминая определение скалярного произведения, мы можем написать

Аналогично, если в трехмерном пространстве выбрать какие-нибудь три взаимно перпендикулярных вектора единичной длины, то произвольный векторов этом пространстве можно представить в виде

В гильбертовом пространстве также можно рассматривать системы попарно ортогональных векторов этого пространства, т. е. функций

Такие системы функций называются ортогональными системами функций и играют большую роль в анализе. Они встречаются в самых различных вопросах математической физики, интегральных уравнений, приближенных вычислений, теории функций действительного переменного и т. п. Упорядочение и объединение понятий, относящихся к таким системам, были одним из стимулов, приведших в начале XX в. к созданию общего понятия гильбертова пространства.

Дадим точные определения. Система функций

называется ортогональной, если любые две функции этой системы ортогональны между собой, т. е. если

В трехмерном пространстве мы требовали, чтобы длины векторов системы равнялись единице. Вспомнив определение длины вектора, мы видим, что в случае гильбертова пространства это требование записывается так:

Система функций, удовлетворяющая требованиям (13) и (14), называется ортогональной и нормированной.

Приведем примеры таких систем функций.

1. На интервале рассмотрим последовательность функций

Каждые две функции из этой последовательности ортогональны между собой. Это проверяется простым вычислением соответствующих интегралов. Квадрат длины вектора в гильбертовом пространстве есть интеграл от квадрата функции. Таким образом, квадраты длин векторов последовательности

суть интегралы

т. e. последовательность наших векторов ортогональна, но не нормирована. Длина первого вектора последовательности равна а все

остальные имеют длину . Поделив каждый вектор на его длину, мы получим ортогональную и нормированную систему тригонометрических функций

Эта система является исторически одним из первых и наиболее важных примеров ортогональных систем. Она возникла в работах Эйлера, Д. Бернулли, Даламбера в связи с задачей о колебаниях струны. Ее изучение сыграло существенную роль в развитии всего анализа.

Появление ортогональной системы тригонометрических функций в связи с задачей о колебаниях струны не случайно. Каждая задача о малых колебаниях среды приводит к некоторой системе ортогональных функций, описывающих так называемые собственные колебания данной системы (см. § 4). Например, в связи с задачей о колебаниях сферы появляются так называемые сферические функции, в связи с задачей о колебаниях круглой мембраны или цилиндра появляются так называемые цилиндрические функции и т. д.

2. Можно привести пример ортогональной системы функций, каждая функция которой является многочленом. Таким примером является последовательность многочленов Лежандра

т. е. есть (с точностью до постоянного множителя) производная порядка от . Выпишем первые несколько многочленов этой последовательности:

Очевидно, что вообще есть многочлен степени. Мы предоставляем читателю самому убедиться, что эти многочлены представляют собой ортогональную последовательность на интервале

Общую теорию ортогональных многочленов (так называемые ортогональные многочлены с весом) развил замечательный русский математик П. Л. Чебышев во второй половине XIX в.

Разложение по ортогональным системам функций. Подобно тому как в трехмерном пространстве каждый вектор можно представить

в виде линейной комбинации трех попарно ортогональных векторов единичной длины

в функциональном пространстве возникает задача о разложении произвольной функции в ряд по ортогональной и нормированной системе функций, т. е. о представлении функции в виде

При этом сходимость ряда (15) к функции понимается в смысле расстояния между элементами в гильбертовом пространстве. Это значит, что среднее квадратичное уклонение частичной суммы ряда от функции стремится к нулю при , т. е.

Такая сходимость называется обычно «сходимостью в среднем».

Разложения по тем или иным системам ортогональных функций часто встречаются в анализе и являются важным методом для решения задач математической физики. Так, например, если ортогональная система есть система тригонометрических функций на интервале

то такое разложение есть классическое разложение функции в тригонометрический ряд

Предположим, что разложение (15) возможно для любой функции из гильбертова пространства, и найдем коэффициенты такого разложения. Для этого умножим обе части равенства скалярно на одну и ту же функцию нашей системы. Мы получим равенство

из которого в силу того, что при определяется значение коэффициента

Мы видим, что, как и в обычном трехмерном пространстве (см. начало этого параграфа), коэффициенты равны проекциям вектора на направления векторов .

Вспоминая определение скалярного произведения, получаем, что коэффициенты разложения функции по ортогональной и нормированной системе функций

определяются по формулам

В качестве примера рассмотрим ортогональную нормированную тригонометрическую систему функций, приведенную выше:

Мы получили формулу для вычисления коэффициентов разложения функции в тригонометрический ряд в предположении, конечно, что это разложение возможно.

Мы установили вид коэффициентов разложения (18) функции по ортогональной системе функций в предположении, что такое разложение имеет место. Однако бесконечная ортогональная система функций может оказаться недостаточной для того, чтобы по ней можно было разложить любую функцию из гильбертова про странства. Чтобы такое разложение было возможно, система ортогональных функцийдолжна удовлетворять дополнительному условию - так называемому условию полноты.

Ортогональная система функций называется полной, если к ней нельзя добавить ни одной, не равной тождественно нулю функции, ортогональной ко всем функциям системы.

Легко привести пример неполной ортогональной системы. Для этого возьмем какую-нибудь ортогональную систему, например ту же

систему тригонометрических функций, и исключим одну из функций этой системы, например Оставшаяся бесконечная система функций

будет по прежнему ортогональной, конечно, не будет полной, так как исключенная нами функция : ортогональна ко всем функциям системы.

Если система функций не полна, то не всякую функцию из гильбертова пространства можно по ней разложить. Действительно, если мы попытаемся разложить по такой системе нулевую функцию ортогональную ко всем функциям системы, то, в силу формул (18), все коэффициенты окажутся равными нулю, в то время как функция не равна нулю.

Имеет место следующая теорема: если задана полная ортогональная и нормированная система функций в гильбертовом пространстве то всякую функцию можно разложить в ряд по функциям этой системы

При этом коэффициенты разложения равны проекциям векторов на элементы ортогональной нормированной системы

Имеющаяся в § 2 теорема Пифагора в гильбертовом пространстве позволяет найти интересное соотношение между коэффициентами и функцией Обозначим через разность между и суммой первых членов ее ряда, т. е.

Определение 1. } называется ортогональной, если все ее элементы попарно ортогональны:

Теорема 1. Ортогональная система неравных нулю векторов линейно независима.

{Предположим, система линейно зависима: и, для определенности, Умножим скалярно равенство на . Учитывая ортогональность системы, получим: }

Определение 2. Система векторов евклидова пространства { } называется ортонормированной, если она ортогональна и норма каждого элемента равна единице.

Из теоремы 1 сразу следует, что ортонормированная система элементов всегда линейно независима. Отсюда, в свою очередь, следует, что в n – мерном евклидовом пространстве ортонормированная система из n векторов образует базис (например, {i , j , k } в 3 х – мерном пространстве).Такаясистема называется ортонормированным базисом, а ее векторы – базисными ортами.

Координаты вектора в ортонормированном базисе можно легко вычислить с помощью скалярного произведения: если Действительно, умножая равенство на , получаем указанную формулу.

Вообще, все основные величины: скалярное произведение векторов, длина вектора, косинус угла между векторами и т.д. имеют наиболее простой вид в ортонормированном базисе. Рассмотрим скалярное произведение: , так как

А все остальные слагаемые равны нулю. Отсюда сразу получаем: ,

* Рассмотрим произвольный базис . Скалярное произведение в этом базисе будет равно:

(Здесь α i и β j – координаты векторов в базисе {f }, а – скалярные произведения базисных векторов).

Величины γ ij образуют матрицу G , называемую матрицей Грама. Скалярное произведение в матричной форме будет иметь вид: *

Теорема 2. В любом n – мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Доказательство теоремы носит конструктивный характер и носит название

9. Процесс ортогонализации Грама – Шмидта.

Пусть {a 1 ,...,a n } − произвольный базис n – мерного евклидова пространства (существование такого базиса обусловлено n – мерностью пространства). Алгоритм построения по данному базису ортонормированного заключается в следующем:

1. b 1 =a 1 , e 1 = b 1 /| b 1 |, | e 1 |= 1.

2. b 2 ^e 1 , т.к.(e 1 , a 2 )- проекция a 2 на e 1 , b 2 = a 2 - (e 1 , a 2 )e 1 , e 2 = b 2 /| b 2 |, | e 2 |= 1.

3. b 3 ^a 1 , b 3 ^a 2 , b 3 = a 3 - (e 1 , a 3 )e 1 - (e 2 , a 3 )e 2 , e 3 = b 3 /| b 3 |, | e 3 |= 1.

.........................................................................................................

k. b k ^a 1 ,..., b k ^a k-1 , b k = a k - S i=1 k (e i , a k )e i , e k = b k /| b k |, | e k |= 1.

Продолжая процесс, получаем ортонормированный базис {e 1 ,...,e n }.

Замечание 1 . С помощью рассмотренного алгоритма можно построить ортонормированный базис любой линейной оболочки, например, ортонормированный базис линейной оболочки системы, имеющей ранг равный трем и состоящей из пятимерных векторов.

Пример. x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Замечание 2. Особые случаи

Процесс Грама - Шмидта может применяться также к бесконечной последовательности линейно независимых векторов.

Кроме того, процесс Грама - Шмидта может применяться к линейно зависимым векторам. В этом случае он выдаёт 0 (нулевой вектор) на шаге j , если a j является линейной комбинацией векторов a 1 ,...,a j -1 . Если это может случиться, то для сохранения ортогональности выходных векторов и для предотвращения деления на ноль при ортонормировании алгоритм должен делать проверку на нулевые векторы и отбрасывать их. Количество векторов, выдаваемых алгоритмом, будет равно размерности подпространства, порождённого векторами (т.е. количеству линейно независимых векторов, которые можно выделить среди исходных векторов).

10. Геометрические векторные пространства R 1 , R 2 , R 3 .

Подчеркнем, что непосредственный геометрический смысл имеют лишь пространства

R 1 , R 2 , R 3 . Пространство R n при n > 3 – абстрактный чисто математический объект.

1) Пусть дана система из двух векторов a и b . Если система линейно зависима, то один из векторов, допустим a , линейно выражается через другой:

a = kb.

Два вектора, связанные такой зависимостью, как уже сказано, называются коллинеарными. Итак, система из двух векторов линейно зависима тогда и только

тогда, когда эти векторы коллинеарны. Заметим, что такое заключение относится не только к R 3 , но и к любому линейному пространству.

2) Пусть система в R3 состоит из трех векторов a, b, c . Линейная зависимость означает, что один из векторов, скажем a , линейно выражается через остальные:

а = kb+ lc . (*)

Определение. Три вектора a, b, с в R 3 , лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными

(на рис. слева указаны векторы a, b, с из одной плоскости, а справа те же векторы отложены от разных начал и лишь параллельны одной плоскости).

Итак, если три вектора в R3 линейно зависимы, то они компланарны. Справедливо и обратное: если векторы a, b, с из R3 компланарны, то они линейно зависимы.

Векторным произведением вектора a, на вектор b в пространстве называется вектор c , удовлетворяющий следующим требованиям:

Обозначение:

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке А (то есть выберем произвольно в пространстве точку А и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой А ). Концы векторов, совмещённых началами в точке А , не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве называется правой , если с конца вектора c кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой .

Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Равно нулю:

Ортогональная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента может быть вычислено по формулам: , где .

Случай, когда норма всех элементов , называется ортонормированной системой .

Ортогонализация

Любая полная линейно независимая система в конечномерном пространстве является базисом. От простого базиса, следовательно, можно перейти к ортонормированному базису.

Ортогональное разложение

При разложении векторов векторного пространства по ортонормированному базису упрощается вычисление скалярного произведения: , где и .

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Ортогональная система" в других словарях:

1) О … Математическая энциклопедия

- (отгреч. orthogonios прямоугольный) конечная или счётная система ф ций, принадлежащих (сепара бельному) гильбертову пространству L2(a,b)(квадратично интегрируемых ф ций) и удовлетворяющих условиям Ф ция g(x)наз. весом О. с. ф.,* означает… … Физическая энциклопедия

Система функций??n(х)?, n=1, 2,..., заданных на отрезке ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов … Большой Энциклопедический словарь

Система функций {φn(х)}, n = 1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих следующему условию ортогональности: при k≠l, где ρ(х) некоторая функция, называемая весом. Например, тригонометрическая система 1, sin х, cos х, sin 2х,… … Энциклопедический словарь

Система ф ций {(фn(х)}, п=1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих след, условию ортогональности при k не равно l, где р(х) нек рая ф ция, наз. весом. Напр., тригонометрич. система 1, sin х, cosх, sin 2х, cos 2x,... О.с.ф. с весом… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Система функций {(φn (x)}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом ρ (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что Примеры. Тригонометрическая система 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., О. с. ф. с весом 1 на отрезке [ π, π]. Бесселя … Большая советская энциклопедия

Ортогональными называются координаты в которых метрический тензор имеет диагональный вид. где d В ортогональных системах координат q = (q1, q², …, qd) координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат… … Википедия

ортогональная многоканальная система - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN ortogonal multiplex …

система координат (фотограмметрического) снимка - Правая ортогональная пространственная система координат, фиксируемая на фотограмметрическом снимке изображениями координатных меток. [ГОСТ Р 51833 2001] Тематики фотограмметрия … Справочник технического переводчика

система - 4.48 система (system): Комбинация взаимодействующих элементов, организованных для достижения одной или нескольких поставленных целей. Примечание 1 Система может рассматриваться как продукт или предоставляемые им услуги. Примечание 2 На практике… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Такое подмножество векторов $\backslash left\backslash \{\; \backslash varphi\_i\; \backslash right\backslash \}\backslash subset\; H$, что любые различные два из них ортогональны , то есть их скалярное произведение равно нулю:

$(\backslash varphi\_i,\; \backslash varphi\_j)\; =\; 0$.

Ортогональная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента $\backslash vec\; a$ может быть вычислено по формулам: $\backslash vec\; a\; =\; \backslash sum\_\{k\}\; \backslash alpha\_i\; \backslash varphi\_i$, где $\backslash alpha\_i\; =\; \backslash frac\{(\backslash vec\; a,\; \backslash varphi\_i)\}\{(\backslash varphi\_i,\; \backslash varphi\_i)\}$.

Случай, когда норма всех элементов $||\backslash varphi\_i||=1$, называется ортонормированной системой .

Ортогонализация

Любая полная линейно независимая система в конечномерном пространстве является базисом. От простого базиса, следовательно, можно перейти к ортонормированному базису.

Ортогональное разложение

При разложении векторов векторного пространства по ортонормированному базису упрощается вычисление скалярного произведения: $(\backslash vec\; a,\; \backslash vec\; b)\; =\; \backslash sum\_\{k\}\; \backslash alpha\_k\backslash beta\_k$, где $\backslash vec\; a\; =\; \backslash sum\_\{k\}\; \backslash alpha\_k\; \backslash varphi\_k$ и $\backslash vec\; b\; =\; \backslash sum\_\{k\}\; \backslash beta\_k\; \backslash varphi\_k$.

См. также

Напишите отзыв о статье "Ортогональная система"

Отрывок, характеризующий Ортогональная система